El máximo de un conjunto A
de número reales es el supremo, siempre y cuando éste pertenezca al conjunto,
en otro caso no hay máximo. Se representa por: max A.
El mínimo de un conjunto A
de número reales es el ínfimo, siempre y cuando éste pertenezca al conjunto, en
otro caso no hay mínimo. Se representa por: min A.
Por ejemplo, en el intervalo A = (-2, 7] el ínfimo
es -2, la mayor de las cotas inferiores, pero como -2 no pertenece a A,
entonces no hay mínimo. El supremo es 7, la más pequeña de las cotas
superiores, y como 7 pertenece a A, entonces sí hay máximo: max A = 7.
En el intervalo (-3, +∞) el ínfimo es -3, pero como
-3 no pertenece al intervalo, entonces no hay mínimo. No hay supremo: sup (-3,
+∞) = +∞, luego tampoco hay máximo.
Recordad que en un
intervalo de números reales el ínfimo es siempre el extremo inferior del
intervalo, y el supremo el extremo superior.
En el intervalo [0, 1] el ínfimo es 0 y el supremo
es 1. Como ambos pertenecen al intervalo por ser cerrado, se tiene: max [0, 1]
= 1, min [0, 1] = 0.
¿Cuál de los siguientes conjuntos de números reales
no tiene mínimo? A) (-∞, 5) ∩ [2, +∞). B) (-2, 5) ∩ [-1,
6). C) (-4, 7) ∩ [0, 3]. D) (2, +∞) U [5,
10].
El conjunto del apartado A es: (-∞, 5) ∩
[2, +∞) = [2, 5), y como el ínfimo es 2,
que sí está en A, entonces A sí tiene mínimo, el 2.
El conjunto del apartado B es: (-2, 5) ∩
[-1, 6) = [-1, 5), que tiene ínfimo y mínimo iguales a -1.
El conjunto del apartado C es: (-4, 7) ∩
[0, 3] = [0, 3], con ínfimo y mínimo iguales a 0.
El conjunto del apartado D es: (2, +∞) U [5, 10] =
(2, +∞), cuyo ínfimo es 2, que no está en el conjunto, luego no tiene mínimo.
Este es la solución.