martes, 17 de febrero de 2015

EL SUPREMO Y EL ÍNFIMO (2)


¿De cuál de los intervalos siguientes es supremo el número 2?

a)     (2, +∞)                     b)   (-∞, 2)                           c)  [-5, 2]

El intervalo (2, +∞) contiene a todos los números mayores que 2. No tiene cotas superiores pues no hay ningún número que sea mayor o igual que todos los demás en el intervalo. Por no tener cotas superiores no puede tener supremo.

El intervalo (-∞, 2)   contiene a todos los números menores que el 2. Cotas superiores son el 100, el 5, el 4, el 3, el propio 2, por ejemplo. No hay ninguna cota superior más pequeña que el 2. Por ello el 2 es el supremo del intervalo.

El intervalo [-5, 2] contiene a todos los números comprendidos entre el -5 y el 2 (incluidos). Tiene las mismas cotas superiores que el intervalo anterior. Por ello el 2 también es supremo del intervalo.

 

¿De cuál de los intervalos siguientes es ínfimo el número -2?

a)     [-2, +∞)                    b)   (-3, -2)                           c)  (-2, 2]

El intervalo [-2, +∞) contiene a todos los números mayores o iguales que -2. Cotas  inferiores son el -100, el -10, el -4, el -3 y el propio -2, por ejemplo. No hay ninguna cota inferior más grande que el -2. Por ello el -2 es el ínfimo.

El intervalo (-3, -2)   contiene a todos los números comprendido entre el -3 y el -2. Cotas inferiores son el -100, el -5, el -4, el -3, pero no el  -2, ya que -2 no es menor o igual que todos los números del intervalo (por ejemplo, no es menor o igual que -2,5). Al no ser cota inferior, -2 no puede ser el ínfimo.

El intervalo (-2, 2] contiene a todos los números comprendidos entre el -2 y el 2 (incluido). En este caso -2 es una cota inferior pues es mayor o igual que todos los números del intervalo. Además es la mayor de todas las cotas inferiores (otras cotas inferiores serían el -3, el -10, etc.). Por ello -2 es el ínfimo del intervalo.

sábado, 14 de febrero de 2015

COTAS SUPERIORES E INFERIORES (2)


¿De cuál de los intervalos siguientes es cota superior el número 5?

a)     (5, +∞)                     b)   (-∞, 5]                           c)  [-5, 6)

 
El intervalo (5, +∞) es un intervalo que contiene a todos los números reales mayores que el 5. El número 5 no es mayor o igual que todos los números del intervalo. De hecho no es mayor o igual que ningún número del intervalo. Por ello 5 no es cota superior del intervalo.

El intervalo (-∞, 5] es un intervalo que contiene a todos los números reales menores o iguales que el 5 (el 5 sí está incluido). Por lo tanto el 5 sí es mayor o igual que todos los números del intervalo y es una cota superior de él.

El intervalo [-5, 6)  es un intervalo que contiene a todos los números reales comprendidos entre el -5 y el 6, sin incluir al 6. Por lo tanto el 5 no es una cota superior del intervalo ya que, por ejemplo, no es mayor o igual que 5,5, que sí está en el intervalo.


¿De cuál de los intervalos siguientes es cota inferior el número -1?

a)     (-1, +∞)                    b)   (-∞, -1)                         c)  [-1, 1)

 
El intervalo (-1, +∞) es un intervalo que contiene a todos los números reales mayores que el -1. El número -1 es menor o igual que todos los números del intervalo. Por ello -1  es cota inferior del intervalo.

El intervalo (-∞, -1] es un intervalo que contiene a todos los números reales menores que el -1. Por lo tanto el -1 no es menor o igual que todos los números del intervalo y no es una cota inferior de él.
El intervalo [-1, 1)  es un intervalo que contiene a todos los números reales comprendidos entre el -1 y el 1, sin incluir al 1. Por lo tanto el -1 sí es una cota inferior del intervalo ya que es menor o igual que todos los números que están en él.

viernes, 13 de febrero de 2015

INTERVALOS INFINITOS (2)


¿En cuáles de los intervalos siguientes no está incluido el número 5?

a)     (5, +∞)                     b)   [-∞, 5]                           c)  [-5, 5)

 
El intervalo (5, +∞) es un intervalo que contiene a todos los números reales mayores que el 5 (el 5 no está incluido pues no es mayor que sí mismo). Por lo tanto el 5 no pertenece a este intervalo.

El intervalo [-5, 5)  es un intervalo que contiene a todos los números reales comprendidos entre el -5 y el 5, sin incluir al 5, pues es abierto por el lado derecho. Por lo tanto el 5 no pertenece a este intervalo.

El intervalo [-∞, 5] es un intervalo que contiene a todos los números reales menores o iguales que el 5 (el 5 sí está incluido). Por lo tanto el 5 sí pertenece a este intervalo.


¿Cuáles de los números siguientes pertenecen al intervalo (-∞, 3)?

a)     -2        b)   -3             c)   3               d)   -1000     e)  8

 
El intervalo contiene a todos los números reales menores que el 3, no incluyendo al 3.

Por lo tanto el número -2 sí pertenece al intervalo pues es menor que 3.

El número -3 sí pertenece al intervalo, ya que es menor que 3.

El número 3 no pertenece al intervalo ya que no es menor que sí mismo.

El número -1000 sí pertenece al intervalo ya que es más pequeño que 3.

El número 8 no pertenece al intervalo ya que no es menor que 3.

jueves, 12 de febrero de 2015

SUBESPACIOS VECTORIALES


Entender lo que es un Subespacio Vectorial a veces se hace muy duro leyendo determinados libros de Álgebra.

Pero si tenéis claro que un Espacio Vectorial es un conjunto formado por vectores, entonces sólo tenéis que imaginar que de todos esos vectores del Espacio cogéis algunos, es decir, cogéis una parte del Espacio, un subconjunto de él. Esa es la idea primera para comprender lo que es un Subespacio Vectorial: una parte de todo el Espacio Vectorial.

 
Si sólo fuese eso sería demasiado fácil, pensaréis. Y es cierto, hay una segunda parte más complicada de visualizar.

Ese grupo de vectores que se cogen para hacer un Subespacio tienen que cumplir dos condiciones:

1) Al sumar dos vectores de ese grupo (los que sean), tenemos que obtener otro vector de ese grupo.

2) Al multiplicar un vector de ese grupo (el que sea) por un número (el que sea), se tiene que obtener otro vector de ese grupo.

 
Por ejemplo, R2 es un Espacio Vectorial formado por infinitos vectores como ya sabéis. De esos infinitos escojo todos los que empiezan por cero, es decir todos aquellos cuya primera componente es un cero, los que son de la forma: (0,a),  donde a puede ser cualquier número.

Está claro que estos que he escogido son muchos, en realidad son infinitos, pero son sólo una parte de todos los que hay en el Espacio Vectorial completo R2.

¿Qué pasa si sumo dos de esos vectores que he escogido? Serán dos vectores que empiecen por cero, así que al sumarlos el resultado será otro vector que empezará por cero también. Por lo tanto el grupo de vectores que empiezan por cero cumplen la primera condición. Con letras: (0,a) + (0,b) = (0,a+b).

¿Y si multiplico uno de los vectores que escogí por un número cualquiera? Pues al multiplicar el número por el cero (primera componente) del vector el resultado va a ser cero, por lo que el vector resultante también empezará por cero. Es decir, se cumple la segunda condición. Con letras: k*(0,a) = (k*0,k*a) = (0,k*a).

Luego los vectores de R2 cuya primera componente es un cero forman un Subespacio Vectorial del Espacio R2.

miércoles, 11 de febrero de 2015

OPERACIONES CON VECTORES DE UN ESPACIO VECTORIAL


Los vectores de un Espacio Vectorial se pueden sumar.
La suma en R2 se hace sumando la primera componente de un vector con la primera del otro y la segunda con la segunda. En R3 es igual pero además hay que sumar las terceras.

La resta se hace de forma similar.

Así tendremos:
(2, 4) + (6, -1) = (8, 3)
(1, 0, -6) + (2, -3, 7) = (3, -3, 1)

También se puede multiplicar un vector por un número real (que se llama escalar).
Esto se hace multiplicando el número por cada una de las componentes del vector.

Ejemplos:
3*(2, 4) = (6, 12)
-5*(1, 3, 0) = (-5, -15, 0)

 

 

domingo, 8 de febrero de 2015

INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS (2)


¿En cuál de los intervalos siguientes no está incluido el número 5?

a)     (-6, 6)                        b)   [-5, 5]                 c)  [0, 5)

 
El intervalo (-6, 6) es un intervalo abierto, que contiene a todos los números reales comprendidos entre el -6 y el 6 (el -6 y el 6 no están incluidos). Por lo tanto el 5 sí pertenece a este intervalo.

El intervalo [-5, 5]  es un intervalo cerrado, que contiene a todos los números reales comprendidos entre el -5 y el 5, incluyéndolos a ambos. Por lo tanto el 5 sí pertenece a este intervalo.

El intervalo [0, 5) es un intervalo semiabierto, que contiene a todos los números reales comprendidos entre el 0 y el 5 (el 0 sí está incluido pero el 5 no). Por lo tanto el 5 nopertenece a este intervalo.



¿Cuáles de los números siguientes pertenecen al intervalo (-2, 3]?

a)     -2        b)   -1,999    c)   2,999      d)   -2,01      e)   3

 
El intervalo contiene a todos los números reales comprendidos entre el -2 y el 3, incluyendo al 3, pero no incluyendo al -2.

Por lo tanto el número -2 no pertenece al intervalo.

El número -1,999 sí pertenece al intervalo, ya que es más grande que -2 y más pequeño que 3.

El número 2,999 también pertenece al intervalo al ser más pequeño que 3 y, por supuesto, mayor que -2.

El número -2,01 no pertenece al intervalo ya que es más pequeño que -2.

El número 3 sí pertenece al intervalo al ser cerrado por el lado derecho (que es el lado del 3).